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Comment trouver rayon de convergence

Le rayon de convergence peut être considéré comme un ensemble de valeurs de la variable indépendante d'une série de puissance sur la série qui tend vers une limite finie. Pour la variable indépendante x d'une série de puissance convergente qui se développe autour de la valeur un, le rayon de convergence R est mathématiquement écrit comme R lt; | x-a | ou un groupe - R lt; X lt; a + R. Vous pouvez choisir parmi plusieurs tests différents pour la convergence en fonction de la nature (n-dépendance) de la série en question, y compris le test du rapport.

Choses que vous devez

  • Crayon
  • Papier

Instructions

  1. Notez la série en notation de sommation. Pour ce faire, dessiner un symbole grec sigma de capital et à écrire "n = 1" directement en dessous. Dessinez le symbole de l'infini au-dessus de la sigma. Maintenant, écrire l'équation (x-1) ^ (n) / (3n) directement à la droite de la sigma. Ce que le problème commence par l'identification de la série de puissance dont le rayon de convergence, vous serez trouver.



  2. Écrire l'équation de la limite lorsque n tend vers l'infini de la valeur absolue du rapport de la (n + 1) ième terme pour la nième terme de la série. Pour ce faire, écrivez "L = lim" et "n-gt; l'infini" dessous "lim." Ecrire la valeur absolue du rapport directement à la droite de "lim." Vous avez maintenant une deuxième ligne de votre problème qui ressemble à ceci: L = lim | [(x-1) ^ (n + 1) / (3 (n + 1))] [3n / (x-1) ^ ( n)] | (quand n tend vers l'infini). Annuler vos termes tels et factoriser le coefficient, la réduction de la limite de L = | x-1 | lim | (n / (n + 1)) | (quand n tend vers l'infini).




  3. Déterminer la limite. Évaluer trois ou quatre valeurs de n pour voir quelle valeur se rapproche de l'équation. Pour n = 10, vous avez L = | (x-1) (10/11) |. Pour n = 100, vous avez L = | (x-1) (100/101) |. L = 1000, vous avez L = | (x-1) (1000/1001) |. De ces trois évaluations, vous voyez que le (n / (n + 1) partie de la relation se rapproche de la valeur 1 lorsque n tend vers l'infini conséquent, votre limite est de L = |. (X-1) (1) | = | X-1 |.

  4. Écrire et résoudre l'inégalité de test du rapport résultant. La règle du test du rapport est que le la limite de la valeur absolue du rapport des termes adjacents doit être inférieur à un, ou L lt; 1. Pour le cas de votre exemple, vous avez L = | x-1 | lt; 1. Résoudre l'inégalité vous donne -1 lt; x - 1 lt; 1 ou 0 lt; X lt; 2. Vous savez maintenant que votre intervalle de convergence est comprise entre 0 et 2, et peut ou peut ne pas inclure les valeurs 0, 2 ou les deux. Néanmoins, vous avez autant d'informations que vous avez besoin pour trouver le rayon de convergence.

  5. Calculer la longueur de l'intervalle et de diviser par deux. Pour votre exemple, vous avez R = (0 + 2) / 2 = 1.

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